Sobre propriedades das construção D e D′ via códigos q-ários

Resumo

Reticulados no espaço Euclidiano n-dimensional, i.e., subgrupos aditivos discretos de Rn, têm recebido especial atenção visando aplicações em codificação para transmissão confiável e em Criptografia Pós-Quântica. Reticulados obtidos por meio de construções multicamadas, como as Construções D, D′, C e C∗, em particular, destacam-se ainda por admitir uma decodificação multinível, a qual pode permitir complexidade de decodificação razoável. Soma-se a isso o fato de que alguns dos reticulados notáveis, como E8, BW16 e Leech, por exemplo, são construtíveis por tais métodos. Sob essa perspectiva, o estudo de parâmetros como distância mínima sob a norma Lp e densidade de empacotamento, assim como esquemas de codificação e decodificação para essas construções podem-se mostrar úteis. Para construções via códigos binários e p-ários, com p primo, e as distâncias euclidiana e de Lee, algumas dessas propriedades foram obtidas separadamente em trabalhos conhecidos. Neste trabalho, propomos a obtenção de limitantes para esses invariantes, assim como condições suficientes para atingi-los para as construções D e D′ via códigos sobre Zq (códigos q-ários). Métodos para a obtenção de uma matriz geradora também são apresentados. Os resultados a serem apresentados incluem parte de um artigo recém publicado. Futuras direções nesta pesquisa em andamento e suas perspectivas incluem a análise de classes conhecidas de códigos, como LDPC (Low-Density-Parity-Check codes) e quase-cíclicos para a obtenção de reticulados com boas propriedades, assim como a obtenção de outros invariantes relevantes.