Método de Newton Riemanniano Amortecido Aplicado a um Problema de Separação de Imagens

Resumen

A busca pelo aprimoramento de imagens é incentivada pelas diversas aplicações em que o reconhecimento e a análise de informações visuais são fundamentais, como em sistemas de vigilância e diagnósticos médicos. Em alguns contextos, as imagens capturadas podem conter sobreposições indesejadas que dificultam a identificação de elementos. Um exemplo disso ocorre quando um quadro é fotografado através de um vidro, resultando na captação simultânea da imagem do quadro e do reflexo do vidro. Problemas dessa natureza podem ser modelados a partir de técnicas de Independent Component Analysis (ICA), que visam estimar componentes independentes a partir de sinais multivariados disponíveis. Esses problemas correspondem a minimização da função objetivo f(Y) = − ∑_l=1^N || diag (Y^T A_lY) ||_F², onde Y ∈ St(p, n) = {Y ∈ R^n×p | Y^T Y = I_p}, em que I_p é a matriz indentidade de ordem p, com p ≤ n, as matrizes A₁, A₂, ..., A_N estão associadas às imagens sobrepostas, || · ||_F é a norma de Frobenius e diag(M) denota a matriz diagonal cujos elementos coincidem com a diagonal principal da matriz M. Este problema é resolvido usando o método de Newton clássico, com uma estratégia de vetorização. Buscando garantir o decrescimento da função objetivo e obter um método mais eficiente, neste trabalho, vamos empregar o método de Newton, introduzindo a busca linear de Armijo. Essa busca fornece um comprimento de passo α_k > 0 que deve satisfazer f(Y) − f(R_Y(α_kη)) ≥ −σ〈grad f(Y), α_kη〉, em que R_Y(α_kη) = qf(Y + α_kη), onde qf(·) denota o fator Q da decomposição QR da matriz, 〈grad f(Y), α_kη〉 = α_k tr(grad f(Y)^Tη), onde tr é o traço de uma matriz, σ ∈ (0, 1) e η pertence ao espaço tangente de St(p, n) em Y. [...]