Características Geométricas de uma Curva Algébrica de Quarto Grau e Aplicações em Canais de Comunicação

Resumen

Os primeiros conceitos formais sobre códigos corretores de erros em canais de comunicação foram apresentados por Claude Shannon (1916–2001) no final da década de 1940. De acordo com [5], em seus trabalhos logo após o término da Segunda Guerra Mundial, ele estabeleceu o arcabouço conceitual para os códigos corretores de erros e definiu conceitos fundamentais para o que chamou de teoria da informação. Shannon não apenas destacou a importância da codificação e compressão de dados, mas também propôs um modelo de canal de comunicação semelhante ao que conhecemos hoje, delimitando os conceitos matemáticos iniciais da transmissão de informação. Atualmente, seguindo as tendências matemáticas das décadas de 1970, com o soviético Valery Goppa, e de 1980, com o canadense Mark Goresky, a análise de curvas algébricas e espaços com curvatura negativa constituem duas linhas de estudo importantes nos sistemas de comunicação. O objetivo deste trabalho é propor uma nova abordagem para obter e interpretar os grupos fuchsianos associados à curva algébrica y² = z⁴ + 1 e analisar suas propriedades geométricas. Os grupos desejados são obtidos pelo Algoritmo de Whittaker [1], com modificações fundamentais para adotar a representação em radicais das quatro raízes complexas da curva, eliminando assim aproximações na caracterização dos grupos fuchsianos [2]. Um resultado prévio necessário para as interpretações geométricas da curva a ser analisada é a generalização do ponto médio de uma geodésica no modelo do Disco de Poincaré, pois em determinados passos do Algoritmo de Whittaker esse ponto é um elemento fundamental. Após uma revisão da literatura, constatou-se que o cálculo do ponto médio se baseia, principalmente, na distância hiperbólica entre as extremidades, sem dar ênfase às coordenadas de cada extremidade. Assim, este trabalho apresenta a Proposição 1, com o objetivo de preencher essas lacunas. [...]