O problema do pomar de Pólya no reticulado hexagonal

Resumen

Um reticulado Λ é um subgrupo aditivo discreto de Rn. Equivalentemente, um subconjunto Λ ̸= {0} de Rn é um reticulado se, e somente se, existem vetores linearmente independentes v1, . . . ,vm ∈ Rn tais que Λ = {α1v1 + · · ·+ αmvm; α1, . . . , αm ∈ Z}. O conjunto {v1, . . . ,vm} é dito uma base de Λ e o número m é denominado o posto de Λ. Se m = n dizemos que o reticulado tem posto completo. O volume de um reticulado de posto completo é o módulo do determinante de uma matriz cujos vetores colunas formam uma base de Λ. Um elemento v de um reticulado é dito primitivo se ele não é um múltiplo inteiro maior do que 1 de outro elemento do reticulado. Neste trabalho, abordaremos reticulados de posto completo em R2, ou seja, Λ = {av1 + bv2; a, b ∈ Z}. Em particular, um elemento de Λ é primitivo se, e somente se, mdc(a, b) = 1. Os reticulados que estamos particularmente interessados são o reticulado quadrado Z2 e o hexagonal H. Este último é gerado por v1 = (1, 0) e v2 = (1/2, √3/2). O problema do pomar de Pólya, formulado por George Pólya, é o de determinar qual deve ser a espessura mínima dos troncos das árvores em um pomar circular regularmente espaçado para que a visão de um observador posicionado no centro do mesmo esteja completamente bloqueada em todas as direções. Dentre as muitas variações deste problema, trabalharemos com um pomar circular de raio inteiro R > 0. Tal pomar consiste de árvores com troncos de raio r > 0 centradas em todos os elementos de um reticulado que estão a uma distância δ da origem, 0 < δ ≤ R. Considerando um observador na origem do reticulado, uma linha de visão é uma semirreta que parte da origem. Uma linha de visão está bloqueada quando intersecta alguma árvore (círculo de raio r centrado em pontos do reticulado). O objetivo é, para cada R, determinar o raio mínimo, rmin(R), das árvores de modo que todas as linhas de visão estejam bloqueadas. A Figura 1 ilustra, para o reticulado hexagonal H e R = 3, o raio mínimo que bloqueia todas as linhas de visão.