Método numérico para resolução de problema pressão-densidade-deslocamento

com condições de fronteira mistas

Abstract

No processo de desenvolvimento do câncer no cólon do reto, mutações podem surgir na estrutura chamada cripta, que contém células-tronco e transientes. Neste trabalho, nós consideramos um domínio retangular S = [0, a]× [0, b] que aproxima uma porção de uma cripta do epitélio do cólon. Utilizamos um modelo difusivo-convectivo para a dinâmica das células nessa estrutura. Supomos que uma cripta contém duas famílias de células: transientes proliferativas, com densidade c1 = c1(x, t), e células vivas totalmente diferenciadas, com densidade c2 = c2(x, t), em que x = (x, y) ∈ S e t ∈ [0, T ]. Supomos também que c1+c2 = 1 e que as famílias de células têm o mesmo coeficiente de difusão D. Considerando c1 = c e que uma cripta pode ser considerada uma estrutura viscoelástica e, portanto, o domínio S pode ter um deslocamento u(x, t) = (u1(x, t), u2(x, t)) em relação à sua posição original, o seguinte sistema de EDP modela o problema: ∂c/∂t −∇ · (∇pc) = ∇ · (D∇c) + αc− βc , em S×]0, T ] −∇ · (∇p) = αc , em S×]0, T ] −∇ · σ(u) = f , em S×]0, T ], em que α e β são taxas de proliferação das células e p é a pressão de adesão célula-célula responsável pela transição celular ascendente ao longo do eixo da cripta, f = (f1, f2), f = −γ∇(p − p∗), γ é um parâmetro, σ(u) é um tensor de tensões, p∗ é a pressão em uma situação normal e p, em caso de anormalidade. O problema será resolvido considerando condições de fronteiras mistas. Salientamos que o mesmo problema foi anteriormente resolvido apenas com condições de Dirichlet.