Movimento browniano fracionário

vantagens e limites na modelagem de mercados financeiros

Abstract

Chamamos de movimento browniano fracionário (mBf) um processo estocástico gaussiano \( BH_t(\omega) = \{BH(t)\}_{t\geq0} \) com média zero e função de covariância dada por \( E[BH(t)BH(s)] = \frac{1}{2}(t^{2H} + s^{2H} - |t-s|^{2H}) \). Onde o parâmetro \( 0 < H < 1 \) é conhecido como índice de Hurst. Esse processo foi introduzido pela primeira vez em um espaço de Hilbert por Kolmogorov em 1940, onde foi chamado de Hélice de Wiener. O nome "movimento browniano fracionário" é devido a Mandelbrot e Van Ness, que em 1968 forneceram uma representação deste processo como uma integral fracionária de Weyl com medida semi-martingale em termos de um movimento browniano padrão. Já o índice de Hurst, nomeado por Mandelbrot, faz homenagem ao Hidrólogo britânico Harold Hurst, que introduziu a análise de intervalo redimensionado ou análise R/S ao estudar a variação anual do nível das águas do sistema do rio Nilo. O mBf apresenta propriedades relevantes para a modelagem de muitas situações reais, destacando-se a dependência de longo alcance e a propriedade de autossimilaridade.