Trajetórias de um bilhar circular

cáusticas

Abstract

O jogo de bilhar sobre uma mesa retangular é amplamente conhecido e é um exemplo ilustrativo em que se pode usar a matemática para modelar tal sistema com o intuito de compreender e prever as trajetórias da bola branca, mesmo que sejam difíceis de executar na prática. Uma modelagem é feita considerando a bola branca como uma partícula pontual que se movimenta, sem atrito, em linhas retas com velocidade constante até colidir com a borda da mesa. Em cada colisão com uma aresta, se considera que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão (reflexão especular) e, também, que o módulo da velocidade da partícula será invariante (colisão elástica). Além disso, assume-se que o movimento da partícula finaliza quando ela bate em algum dos vértices da mesa. Essa modelagem, motivada por modelos físicos na mecânica e ótica, é estendida para o caso onde uma ou mais partículas se movimentam livremente em um domínio limitado do espaço, experimentando colisões com a fronteira e com as outras partículas. Exemplos clássicos de bilhares que descrevem a dinâmica de uma única partícula livre, incluem o bilhar circular, triangular, retangular, elíptico, em forma de estádio e em forma de cogumelo. De modo geral, a dinâmica dos bilhares planos é determinada pela forma geométrica do domínio e podem exibir os diversos comportamentos dos sistemas dinâmicos: integrável, caótico ou misto. O trabalho objetiva introduzir o conceito de cáustica no contexto de bilhares no plano.