Um estudo sobre o índice de matrizes hermitianas associadas a grafos unicíclicos

Abstract

Na teoria espectral de grafos procura-se estudar propriedades estruturais de grafos a partir de matrizes e seus autovalores. Dado um grafo G com n vértices, denotamos por V (G) e E(G) o conjunto de vértices e arestas de G, respectivamente. A matriz de adjacência A(G) de G é definida como a matriz quadrada de ordem n tal que sua entrada ij é 1 se o vértice vi for adjacente ao vértice vj, e 0 caso contrário. Por se tratar de uma matriz simétrica, todos seus autovalores são números reais e serão denotados por λ1(G) ≥ λ2(G) ≥ ... ≥ λn(G). O multiconjunto (incluindo multiplicidades) dos autovalores de A(G) é chamado de espectro de G e será denotado σ(G). Em especial, o maior autovalor λ1(G) é chamado de índice de G e é um parâmetro bastante estudado. O raio espectral de G é definido como ρ(G) = max{|λ| : λ ∈ σ(G)}. Como A(G) é uma matriz com entradas não negativas, pelo Teorema de Perron-Frobenius, podemos garantir que ρ(G) = λ1(G), contudo, tal propriedade não é necessariamente verdadeira para diferentes matrizes associadas ao mesmo grafo G.