Abordagem fuzzy para a dinâmica populacional do Parque Nacional Montanhas do Tumucumaque

Abstract

 Os modelos populacionais tratam de variações das densidades de população, visando a melhor compreensão da variação do número de indivıduos de uma população e dos fatores que os influenciam. O Parque Nacional Montanhas do Tumucumaque é o maior parque de floresta tropical do mundo e está localizado, em sua maior porção, no estado do Amapá. Estudamos neste trabalho o crescimento populacional das cidades ao redor do Parque utilizando o Modelo de Crescimento Populacional de Malthus, com o objetivo de modelar o crescimento da população, obtendo informações que poderão ser utilizadas por especialistas na tomada de decisões em relação à urbanização e à preservação do mesmo. Em seguida, utilizamos a variação per capita e a população inicial do modelo clássico em um sistema p-fuzzy (parcialmente fuzzy [2]) para comparar os resultados obtidos. A Teoria dos Conjuntos Fuzzy foi introduzida por Lofti A. Zadeh em meados dos anos 60, com a intenção de dar um tratamento matemático a termos linguısticos subjetivos como “aproximadamente”. A utilização de parâmetros fuzzy em equações diferenciais ganhou espaço na modelagem matemática de fenômenos naturais quando não dispomos de dados suficientes para adotar métodos estocásticos ou então quando a situação não comporta medidas e dependemos apenas de informações de especialistas. O modelo clássico de Malthus e sua solução são representados, respectivamente, por dN dt  rN e N(t)  N0e rt; onde N0 é a população inicial, t a variação do tempo e r a taxa de variação per capita. Neste trabalho, a taxa r é obtida pela fórmula r  m Pt Pi 1, onde Pi representa a população inicial, Pt a população final e m  t i [1]. A partir do censo do IBGE, dados coletados de alguns anos entre 1996 e 2010, do número de habitantes das cinco cidades localizadas ao redor do Parque, determinamos r para cada cidade nos intervalos de tempo convenientes. Em seguida, calculamos a média aritmética dessas taxas para cada intervalo de tempo (Tabela 1). O valor r  0; 048 foi calculado através da média aritmética dos dados da Tabela 1. Ano 1996-2000 2000-2002 2002-2003 2003-2007 2007-2010 Taxa de Variação Per Capita 0,05662 0,04349 0,03769 0,05199 0,05251 Tabela 1: Tabela da variação per capita em cada intervalo de tempo. Consideramos a população inicial N0  44735 a partir da Tabela 2, que apresenta a soma das populações das cinco cidades ao redor do Parque por ano. 1bolsista de Mestrado PICME/UFU Ano 1996 2000 2002 2003 2007 2010 População 44735 55433 60183 62387 74551 84603 Tabela 2: Soma das populações das cidades ao redor do Parque. Para o sistema p-fuzzy de Malthus, utilizamos as funções de pertinência das Figuras 1 e 2, o método de inferência de Mamdani e para defuzzificação o centro de gravidade. Para o modelo fuzzy, o método numérico utilizado foi Euler e o número de iterações foi n  140 com t  0; 1: 0 2 4 6 8 10 x 104 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 População G ra u de  P er tin ên ci a Média Muito Baixa AltaBaixa Figura 1: Funções de Pertinência de Entrada. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Variação da População (dx/dt) G ra u de  P er tin ên ci a Média Muito Baixa AltaBaixa Figura 2: Funções de Pertinência de Saıda. A Figura 3 representa os gráficos dos modelos clássico e fuzzy, e a Figura 4 o erro relativo. 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 x 104 Ano Po pu la çã o Modelo Fuzzy Modelo Determinístico Figura 3: Crescimento da População. 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Erro Relativo Ano Er ro Figura 4: Erro Relativo. Podemos observar que o erro obtido entre os modelos é mınimo, mostrando que ambos podem ser utilizados para essa situação. Como o crescimento da população pode ser estimado por meio desses modelos, eles podem ser úteis na tomada de decisões sobre a urbanização, meios de preservação e projetos de utilização responsável da área do Parque pela população local.