Aplicação de Multiplicadores de Lagrange em economia

Abstract

Este trabalho tem como objetivo mostrar a aplicação do Multiplicador de Lagrange para resolver problemas de otimização em economia, devido ao fato de que estas questões geram importantes sugestões e conclusões sobre o comportamento econômico do consumidor. Diversas questões de interesse econômico e processos de otimização estão modelados através de extremos condicionados, e algumas questões típicas na formulação dessas questões são as seguintes:

i. As funções nem sempre são dadas explicitamente, então se considera que elas tenham propriedades qualitativas características, assim os problemas têm um caráter mais “teórico” que “computacional”;

ii. Normalmente, o economista não está interessado em encontrar o valor ótimo restrito, mas sim nas consequências da otimização, sendo assim, o problema não é “encontrar o mínimo”, mas “assumindo que o mínimo é alcançado, quais consequências podem ser deduzidas?”;

iii. O Multiplicador de Lagrange λ, geralmente, pode ser interpretado como a taxa de variação do valor ótimo em relação a algum parâmetro;

iv. O teorema da função implícita desempenha papel crucial no estudo do problema, uma vez que a análise requer a solução de um sistema de equações lineares para as variáveis endógenas (dependentes) e computar as derivadas parciais destas variáveis em relação as variáveis exógenas (independentes).

Para iniciar o desenvolvimento do trabalho foram considerados alguns resultados preliminares: Utilidade Marginal, Produtividade Marginal, Estática Comparativa, Cálculo da Matriz inversa por Cofator, Teorema da Função Implícita, Teoremas relacionados ao Multiplicador de Lagrange e Condição suficiente para um ponto crítico ser extremo local.  é essencial para a formação do educando.  Foram apresentados alguns exemplos clássicos da utilização do Multiplicador de Lagrange em problemas matemáticos e econômicos, no intuito de ter uma visão geral e ampliada das diferentes formas de aplicação do Multiplicador de Lagrange em problemas de otimização. Estes exemplos tratam dos seguintes pontos:

 Minimização de funções sujeitas a vínculos;

 Pontos de máximo e mínimo de funções sujeitas a vínculos;

 Maximização de volume;

 Problemas econômicos onde são dadas:

o Uma função que define a quantidade de espaço requerida por uma empresa, o custo da mão de obra e do capital, sendo pedido para que se determinem as quantidades de capital e mão de obra que devem ser utilizadas de forma que o espaço seja o mínimo possível.

o Uma função da produção de uma firma, o custo do capital, da mão de obra e a quantidade de bens a serem produzidos, sendo pedido:

a. As quantidades de mão-de-obra e capital que devem ser utilizados para minimizar o custo;

b. O valor do M.L. no nível ótimo de produção;

c. Mostrar que no nível de produção ótimo existe a seguinte relação: