Precisão de métodos de volumes finitos para a solução da equação de Buckley-Leverett

Abstract

Métodos cuja ordem formal de convergência é alta (≥ 2) tem bastante popularidade na solução numérica de leis de conservação hiperbólicas, em particular da equação de Buckley-Leverett que descreve escoamentos bifásicos em meios porosos. Porém, nas aplicações, as hipóteses que permitem provar a convergência de alta ordem são raramente satisfeitas. O objetivo dessa contribuição é mostrar, através de análises empı́ricas, o efeito da regularidade da solução sobre a ordem de convergência. Em particular, mostrar que (a) a presença de ondas de choque destrói a alta ordem quando a convergência é medida em normas Lp (Ω), com p ≥ 1 mas não na norma dual Lip0 (Ω); e que (b) a presença de ondas de rarefação é mais prejudicial, levando os métodos a primeira ordem de convergência inclusive na norma Lip0 (Ω). Essas observações fazem com que a ordem formal do método nunca se realize nos casos de aplicação. A escolha do método precisa então de estudos empı́ricos de convergência para problemas realistas, que permitam avaliar a precisão efetiva. Um estudo 2D desse tipo, com propriedades altamente heterogêneas, é reportado na segunda parte do trabalho. Nele, é observada ordem de convergência menor que um (' O(h1/2)) para métodos de ordem formal 1 (Godunov, Rusanov) e ordem O(h) para suas variantes de ordem formal 2, verificando-se uma vantagem de precisão para esses últimos tanto se implementados com limitador minmod quanto com limitador superbee.