Implementação da Técnica de Separação de Variáveis para Equações Diferenciais Parciais via SageMath

Resumo

O presente projeto propõe o desenvolvimento de um módulo computacional para o sistema SageMath [6], com o objetivo de implementar a técnica de separação de variáveis aplicada a equações diferenciais parciais (EDP) [1–4]. O SageMath é um ambiente de computação algébrica moderno, gratuito e de código aberto, cujo propósito é oferecer uma alternativa viável a pacotes comerciais como Maple, Magma, Mathematica e Matlab [5]. Integrando aproximadamente cem pacotes de software livre sob uma interface unificada, o SageMath oferece uma ampla variedade de ferramentas para a pesquisa e o ensino em matemática pura e aplicada, física, engenharias e áreas correlatas. Estamos interessados em equações diferenciais parciais lineares de segunda ordem. Uma equação desse tipo, em duas variáveis, pode ser expressa em sua forma geral como A(x, y)u_xx + B(x, y)u_xy + C(x, y)u_yy + D(x, y)u_x + E(x, y)u_y + F(x, y)u = G(x, y) onde u = u(x, y) é a função a ser determinada e os coeficientes são funções conhecidas. A técnica de separação de variáveis consiste em buscar soluções u que admitam a forma de produto de funções de uma única variável, isto é, u(x, y) = X(x)Y(y). Embora a separação de variáveis seja uma técnica clássica e amplamente empregada na resolução de EDP, observa-se a ausência de uma implementação robusta dessa técnica no SageMath e nos sistemas que o compõem. Atualmente, existe apenas uma funcionalidade restrita na biblioteca Sympy [7], capaz de tratar apenas casos mais simples de separação. Diante disso, no presente projeto buscamos desenvolver uma solução computacional robusta e extensível que permita automatizar, de forma simbólica, a separação de variáveis em EDP. Contribuindo assim para o ecossistema de softwares livres científicos. [...]