Análises algébricas e numéricas para um modelo de transmissão de dois sorotipos de dengue

Resumo

A dengue é uma doença transmitida através de um vetor, sendo o mosquito Aedes aegypti o principal deles. No Brasil já existem os quatro sorotipos, e somos responsáveis por 60% dos casos de Dengue no mundo, e 80% na América do Sul. Sabe-se que existem quatro sorotipos de dengue circulantes e que a infecção por qualquer tipo de sorotipo produz imunidade permanente a este, e apenas temporária aos outros. Portanto, em média seis meses após a primeira infecção o indivıduo pode adquirir um novo sorotipo. A detecção de co-circulação é normalmente feita através do isolamento do vírus, o que é muito difıcil. Assim não há informação real sobre a reação cruzada (imunidade cruzada ou super-infecção), tornando um dos objetivo deste trabalho, estudar a influência da infecção primária na infecção secundária ([1]). Para isso propõe-se um modelo teórico que descreve a dinâmica da doença onde se considera a população humana, a população de vetor e dois sorotipos circulantes, e estuda-se através de uma abordagem analítica e numérica quais as condições necessárias para permanência ou desaparecimento de um determinado sorotipo e a coexistência de dois sorotipos. Para tanto foi proposto a divisão da população humana e do vetor nas seguintes classes: sejam S os indivíduos suscetíveis, I1 os indivíduos infectados pelo primeiro sorotipo do vetor, I2 os infectados pelo segundo sorotipo do vetor, R1 os recuperados do primeiro tipo da doença, R2 os recuperados do segundo tipo da doença, I12 os indivíduos que se recuperaram do primeiro sorotipo de vírus e se infectaram com o segundo, I21 os indivíduos que se recuperaram do segundo sorotipo de vírus e se infectaram com o primeiro, e R são os indivíduos que se recuperaram dos dois sorotipos do vírus. Na população de vetor VS , VI1 e VI2 são os vetores suscetíveis, infectados pelo primeiro sorotipo e infectados pelo segundo sorotipo, respectivamente. O modelo compartimental proposto é apresentado na Figura 1. FAPESP processo no:2013/01552-7, FAPESP TEMÁTICO 2009/15098-0. S I I R R R I I 1 1 1 2 2 21 2 V V V S I2 1 λ λ 1 2 γ γ I λ λ 2 1 1 2 γ 2 γ 1 δ V V V V I1 I1I2 I2 (I1 I21) δ(I2I21) φ µ µ µ µ µ µ µ µ m µ µ m µ m α µ σ σ1 2  α α β β Figura 1: Diagrama de compartimentos para o modelo proposto. Os indivíduos suscetíveis são infectados a uma taxa λ1 e λ2 pelos sorotipos de vírus um e dois, respectivamente; os infectados de cada sorotipo se recuperam a taxas γ1 e γ2, formando assim os compartimentos R1 e R2. Estes podem ser infectados pelo outro sorotipo de vírus, sendo que a primeira infecção pode ou não facilitar a segunda infecção, parâmetro σ. Estes infectados secundários se recuperam às taxas γ1 e γ2, formando assim o compartimento R. O parâmetro β, nas classes I12 e I21, corresponde à taxa de mortalidade adicional causada pela doença. Os parâmetros relacionados ao vetor são φ que é uma taxa de reposição, δ1 e δ2 que são as taxas de infeção dos mosquitos suscetíveis, µm que é a mortalidade do vetor e por fim α que é o parâmetro relacionado às tentativas de controle da população de mosquitos, como por exemplo a fiscalização de residências e comércios. Assim, para o modelo, serão apresentados os pontos de equilíbrio e as análises de estabilidade destes com base nos polinômios característicos da Matriz Jacobiana do sistema de equações diferencias proposto, bem como no número reprodutivo basal do modelo [4]. Ao fim também serão mostradas as séries temporais da dinâmica de transmissão para diferentes casos epidêmicos, levando em conta diferentes conjuntos de parâmetros [3], e os diagramas de bifurcação relativos a coexistência e exclusão dos diferentes sorotipos.